从数学史的角度谈超越数

摘要:从数学发展史的角度,较全面地叙述人类发现超越数是数学的两个侧面,即从代数数论集论得到超越数是存在的。并简单介绍两个常见的超越数e和π。

关键词:代数无理数超越无理数e,π,γ-欧拉(Euler)数有理数

我们来回顾一下数系的状况,早在18世纪时,虽然在弄清无理数概念方面没有什么成就,但是对无理数本身还是作出了某些进展。1737年Euler(1707-1983)基本上证明了和是无理数,Labert证明了是无理数。任何有理系数代数(多项式)方程的任何一个根(不管是实的还是复的)叫做一个代数数,这样方程…(1)的根叫做代数数,其中是有理数。因此所有的有理数和一部分无理数是代数数,这是因为,任一有理数(是方程的根),而是的根,不是代数数的数叫做超越数,因为Euler说过:“它们超越了代数方法的能力。”Euler至少早在1744年就认识到了代数数与超越数之间的这一差别。他猜测说,以有理数为底的有理数的对数,必定或者是有理数,或者是超越数,然而18世纪时不知道有哪一个数是超越数,因为证明超越数存在的问题仍旧没有解决。

到19世纪中叶,关于代数无理数与超越无理数的工作,是朝着更好地了解无理数的方向跨进的一步。代数无理数与超越无理数之间的区别在19世纪已经完成了。值得一提的是超越数的存在的证明都是兵分两路地进行着。为此我们重新捡起它们的头绪。

一方面,直到1844年前,是否存在任何超越数的问题没有解决,但就在这一年,Liouville证明了下述形式的任何一个数都是超越数:,其中是0到9的任意整数。

要证明上述结论,Liouville先证明了几个关于用有理数逼近代数无理数的定一个代数数是满足代数方程(1)的任何一个实数或复数,其中都是整数。一个根叫做n次代数数是指它满足一个n次方程,但不满足低于n次的方程。有些代数数是有理数,它们都是一次的。Liouville证明如果是一个n次代数无理数x的任一近似值,则存在一个正数M使,这里p与是整数。这表明,对于一个n次代数无理数的任一有理逼近其精度必定达不到,换句话说,如果x是一个n次代数无理数,则必存在一个正数M使

不等式,,当时无理数解p与,从而当时亦然。因此,对于一个固定的M,如果上述不等式对每一个正整数都有解,则x是超越数。Liouville证明他的那些无理数是满足上述最后的条件的,从而就证明了他的那些数都是超越数。

另一方面,康托(Cantor1845-1918)从集论中得到代数数集合是可数集证明。肯定存在不是代数数的实数。这样的数称为超越数。他的证明是这样的。

和上叙述的一样代数数是满足方程(1)的任何实数或复数,其中都是整数,代数数的概念是有理数的自然扩充,因为后者构成这特殊性型。

但并不是每一个实数都是代数数。这一差可以从康托的证明看出所有代数数的全体是可数的。由于所有实数的集合是不可数时,所以一定存在不是代数数的实数。

将代数数集合排列成可数序列的方法如下,对于形如(1)的每一个方程,将正整数…(2)规定为它的“高度”。对于每一个确定的h,高度为h的方程(1)只有有限个。其中每一个方程最多只有n个不同的根。因此,由高度为h的方程得出的代数数只有有限个,于是我们可以将所有代数数排成一列,即先排高度为1的代数数,然后排高度为2的代数数,等等。这就进一步完善了超越的理论。不但证实了超越数的存在而且更进一步完善了超越数的理论。不但证实了超越数的存在而且更进一步指出了它是一个不可数集。难怪中国伟大的学者数学家华罗庚教授在其著的“数论导引”中感叹到“业已证明超越数之存在性,且实数中几乎全部是超越数,盖代数数集仅一可数集尔!”

在识别特殊的超越数方面。其次跨进的一大步是1873年Hermite关于是超越数的证明,在得到这个结果以后,Hermite马络CarlWilhelmBorohardt(1817-1880)说:“我不敢去试着证明的超越性。如果其他人承担了这项工作对于他们的成功没有比我再高兴的人了,但相信我,我亲爱的朋友,这决不会不使他们花去一些力气。

Legendre早曾猜测是超越数,FerdinadLindemann。(1852-1939)在1882年用实质和Hermite没有什么差别的方法证明了这个猜测,Lindemann指出,如果是不相同的代数数实的或复的而是不全为零的代数数,则和数不能是零,如果我们取,则可见当是非零代数数时,不能是代数数。由于可以取成1、是超越数,现在已知从而数不能是代数数,由于两个代数的乘积是代数数,而是代数数,所以不是代数数,是超越数的证明解决了著名的几何作图问题的最后一个项目,因为所有可作出的数都是代数数。

关于一个基本的常数仍是一个谜。Euler常数,。近似地是0.57721564490,它在分析中,特别在函数与函数的研究中起着重要作用,却至今不知道它是有理数还是无理数。至于这点,大数学家希尔伯脱多次向全世界的数学家发出呼吁,已到了喋喋不休的程度。最近有人揭示了RiemannZeta函数与Euler常数之间的关系表示式为。又进而言之有关系式,由这个关系式可以看出,Euler常数是否为无理数的问题与RiemannZeta函数(当为正奈数时)有密切的关系。这当然是个猜测。南昌大学教授傅万涛先生指出为什么Euler常数的谜这样难攻破,原因就是它是一个极限。

参考文献:

1.华罗庚.数论导引[M].北京:科学出版社,1979.

2.[美]M·克莱茵.今古数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,1981.

3.曾昭东.Euler常数和级数[J].河南师范大学学报(自然科学版),1995(04):23.

作者简介:魏际荣(1955-),男,江西南昌人,副教授,从事数学教学研究。

涂继(1971-),男,江西南昌人,南昌教育学院数学系讲师。