摘 要： 本文介绍了数论中的同余理论在仿射加密中的应用。首先说明了字母与整数的对应，其次介绍了凯撒密码这一简单的加密方法，再次利用同余理论分析了通过明文中字母出现的频率与英文字母本身出现的频率的对应关系，介绍了对明文加密及对密文解密的方法，体现了数论的应用价值。
关键词： 明文 密文 仿射加密 同余理论
在当今社会，信息无处不在。在一些情况下，传递信息的人希望他的信息只被特定的接收者知道要说明的内容，因而信息的加密显得尤为重要。数论作为一门理论性的学科，在现实生活中显示出了它的实用性。
一、了解相关概念
明文是一目了然的信息。把这些信息传递给某些人时，要先对明文进行“加密”处理，经加密处理的明文，称之为密文。只有接收者掌握了一定的方法，才能由密文知道明文的信息。这个信息的传递包括两个层面：第一，把明文写成密文的方法；第二，解密的方法。
二、同余在仿射加密中的应用
首先建立明文与正整数的对应关系。一个文件总是由文字和其他符号组成的。如果用汉语拼音书写汉字，那么，文件就可以用26个拉丁字母和一些符号表示，假设共N个，那么这些符号和N个正整数建立了一一对应的关系，例如：
那么，你真好（nizhenhao）对应的数字就是130825070413070014.
接着给出仿射加密方法。
例如：凯撒密码作为一种最为古老的对称加密体制，在古罗马的时候已经很流行，它的基本思想是：通过把字母移动一定的位数实现加密和解密。明文中的所有字母都在字母表上向后（或向前）按照一个固定数目进行偏移后被替换成密文。例如，当偏移量是3的时候，设符号a，b，…，z分别与数字0，1，…，25对应，取n=26，a=1，b=3，d=1，对明文P中的每一个符号用公式E≡P+3（mod 26）加密。比如对于明文a有a→0→3→d，依此可得：
六点钟（liudianzhong）被加密成olxgldqckrqj.
对于密文可用P≡E-3（mod 26）得到明文，例如g→6→3→d
由此可见，位数就是凯撒密码加密和解密的密钥。
再例，假如事先知道信息的每一个字母通过同余公式E≡P+k（mod 26），0≤E≤25进行变换，我们试对以下密文进行分析：
YFXMPCESPZCJTDFDPQFWQZCPYNTASPCTYRXPDDLRPD
首先我们要对密文中每个字母的出现字数进行统计，如下表所示：
“P”是出现频率最高的字母，“C、D、F、T、Y”频率较高。而我们知道“E”是英文信息中出现频率最高的字母，可以猜测密文中的“P”表示明文中的“E”，则15≡4+k（mod 26），则k≡11（mod 26）。
因此，我们有同余公式E≡P+11（mod 26）及P≡E-11（mod 26），可得
尝试破解密文得到：
NUMBERTHORYISUSEFULFORENCIPHERINGMESSAGES
通过明文的意思我们知道破解密码正确。如果得到明文的字母混乱，则可以通过密文其他频率较高字母的可能变换来解密。
一般的，对于仿射加密方法，只要知道两对（不同的）相对应的明文与密文就可以求出解密方法。
参考文献：
[1]冯克勤.数论与密码.科学出版社，2007，3：61-76.
[2]纪建.数论与应用.清华大学出版社，2013，1：217-220.
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