摘要 本文运用教学实践经验和案例的方法浅谈对多值解析函数的理解和认识。
关键词 数学分析;多值解析函数;积分
中图分类号O1文献标识码A文章编号 1674-6708(2010)26-0117-01
数学分析中计算定积分的方法随着学习的深入和实际的应用有很大的极限性,但是如果用复分析的角度来看,某些在数学分析中计算麻烦或几乎不可能计算的积分却可容易求出。而要学习复分析中计算实积分的方法,对初等多值解析函数的理解是其中一个坎。本文先谈谈多值解析函数在教学中的一些体会;紧接着讨论函数的相关问题。
如何教好初等多值函数中的根式函数对我们这些担任师范专科数学教育的教师来说是一个巨大的挑战,现本人根据多年的教学经验,避开文字理论而用实例分析设计教学如下。
1) 让学生动手解(其中a为正实数),并动手作图
学生很快做出复平面上的3条射线,这3条射线把整个复平面分为3块区域,为了方便,我们把这3个区域分别记为。而且知道一个-a对应着3个w,一对多,即为多值函数。
2) 让学生动手求解并作图
这会儿学生就看出分别在各有3个不同的点。
3)从原点起割破负实轴
这样中的z的幅角只能在(-π,π)之间取值,而且当z取定后,就能算出3个分别位于区域的,如果z任意取值,则称为的3个单值解析分支函数(这几个函数的自变量是z的幅角和z的模r)。
即,(k=0,1,2;在实数域内开方,下同),并且这3个分支位于不同的区域,即被分开了。如果复平面不被割破,那么也是z的幅角,这时3个分支就可写成,处于Tk区域的第k支Wk就变成了处于Tk+1区域的第k+1支wk+1,只要复平面不被割破,z就可绕着原点按顺逆时针旋转n周,都是它的幅角,那么我们不可能把分成3个独立的单值解析分支,它们在原点连接起来,抖不散了。
下面对“”的错误进行分析。
(1)关于这一符号的理解
既表示两个单值解析函数的总体,也可以表示某一特定的单值分支。
(2)准确把握多值解析函数中“三支定两支”的观点
例:取下半虚轴为支割线,则在割开z的平面区域G内可以定义、及的单值解析分支。若取为的分支,取为的分支(这里为正的平方根),则就已经确定为取单值分支(这里为正的平方根),而不能再取其他单值分支了。
因此,例子中的两个就表示两个均取的解析分支,这样就已经确定取值为-1。
(3)对的进一步理解
若把函数看成是多值解析函数,则其可能的支点0和,但容易验证0和都不是它的支点,故不是多值解析函数。事实上,函数是两个不同的单值的解析函数=,这两个单值解析函数在运用中到底取哪个函数由所给初值决定。上述例子中的1=表明是取=-z的单值解析函数。
从多值解析函数以上3个注意要点,我们可以对例子进行如下两种方式纠正:-1 ==.= i.i=-1或
读者可以类似地思考:及 的错误所在。
参考文献
[1]钟玉泉,复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2004.
[2]James Ward Brown 著,邓冠铁译.复变函数及应用[M].北京:机械工业出版社,2005.
相关热词搜索： 函数 解析 理解