学校本科教育教学改革研究项目（UPRP20140526）
一、最大限度利用数学分析已有知识，初步了解复变函数
1.定 义
复变函数ω=f（z）的定义在形式上与数学分析中一元函数的定义基本一样，但与之不同的是，复变函数的自变量和函数值均取复数，且在复数中，自变量与函数值不只遵循一对一的原则，更衍生出一对多即多值函数的定义，即一个自变量z有几个或无穷多个函数值与之对应.
2.极 限
掌握复变函数极限的定义，首先要准确把握一元实函数y=f（x）及二元实函数y=f（x，y）的定义及两者不同之处.复变函数ω=f（z）在形式与一元实函数y=f（x）的极限定义相似，其性质也可以平移使用.但是不同的是：对于一元实函数y=f（x）的极限：limx→x0f（x） x→x0指在x轴上x沿x0的左右两个方向趋近x0，而复变函数ω=f（z）的极限：limz→z0f（z） z→z0要沿着从四面八方通向z0的任何路径趋于z0.
3.连续性
对于一元实函数的三要素分别为：①f（x）在点x0处有意义 ②f（x）在点x0处有极限 ③limx→x0f（x）=f（x0） ，对于复变函数ω=f（z）的连续性也必须满足这三要素，并且其性质与一元实函数y=f（x）连续性相似.但是由于复变函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）沿E在点z0=x0+iy0处连续的充要条件为：二元实变函数u（x，y），v（x，y）沿E于点（x0，y0）连续，由此可知，复变函数ω=f（z）连续性的证明要依靠于二元实函数连续性的证明.
4.导数与微分
由于复变函数的导数与定义形式上与数学分析中一元函数的导数定义一致，因此微分学中的几乎所有求导基本公式及法则都可以推广到复变函数中来.和导数的情形一样，复变函数的微分定义形式上也与数学分析中一元函数微分定义一致，由函数ω=f（z）在区域D内可微衍生出复变函数中一个重要的定义：解析.解析函数是复变函数研究的主要对象.
5.积 分
一元实函数定义积分的思路为：分割，取值，求和，取极限，这种思路完全可以应用到复函数的积分定义上来，并且复函数定积分的计算规则与基本性质也与一元实函数基本相同.例如：复变函数积分中仍有牛顿——莱布尼茨公式，只是公式的条件要求与一元实函数的要求不同，在一元实函数中，由原函数存在定理可知：只要被积函数在积分区间上连续，都可以应用牛顿—莱布尼茨公式来求积分；而对复变函数而言，要应用牛顿—莱布尼茨公式，需要被积函数f（z）在单连通区域D内连续且处处解析时才有∫z2z1f（z）dz=F（z1）-F（z2）
二、理解复变函数独有的特点，整体把握复变函数
学习复变函数，不仅要求学生类比已有的数学分析中的知识，做到融会贯通，更需要学生新增知识，重点把握.本部分将从复变函数f（z）的解析性，柯西积分定理，柯西积分公式三个方面论述.
1.f（z）的解析性
解析函数是复变函数研究的主要对象，它具有很多很好的性质如：无穷可微性.
（1）复变函数ω=f（z）在z0∈D处解析是指f（z）在点z0处可微，并且在该点的邻域内每一点均可微；而w=f（z）在D上解析是指在D内的每一点都可微，从而就会出现f（z）只在一个孤立点或只在一条直线上可微，但是各点都未形成由可微点构成的圆邻域，导致f（z）在D上不解析.
（2）解析函数的无穷可微性
函数f（z）在z平面上的区域D内解析，则f（z）在D内具有各阶导数，并且它们也在D内解析.我们要注意：在数学分析中，区间上的可微函数在此区间上不一定有二阶导数，更不必谈高阶导数.
2.柯西积分定理
对于柯西积分定理，学生须知该定理肯定了复变函数积分的值与积分路径无关的条件（沿区域内任何闭曲线积分值为0的条件）是与被积函数的解析性及解析区域单连通性有关.
即函数f（z）在单连通区域D内解析，C为D内任一条简单闭曲线，则∫Cf（z）dz=0.
由于柯西积分定理的全部理论是建立在两个假设之上的：（1）所考虑的区域D是单连通区域，
（2）f（z）在D内为解析函数，所以如果两个条件有一个不具备，一般来说定理结论不再成立.所以若在区域D内有函数f（z）的奇点，就要将这些点从D内除去，从而把多连通区域变为复连通区域，此时沿复周线外边界积分等于沿内边界积分之和.
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