2018-2019学年河南省三门峡市建设创新型国家大会高三数学理期末试题
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的一个极值点在区间内，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
【知识点】导数的运算 函数的零点B9 B11
C
因为，若函数的一个极值点在区间内，则，即(－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，所以选C.
【思路点拨】结合零点存在性定理及单数的单调性列出实数a满足的条件，即可求解.
2. 已知，则( )
A． ? B. ? C. ? D.
参考答案：
【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2
【答案解析】B? cos(-2)=-cos2=2-1=-故选B。
【思路点拨】根据诱导公式及二倍角公式求得。
3. 《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）
A． 18? B． 17 C. 16? D．15
参考答案：
B
4. 已知，且7，则（? ）
A．? B． C． D．
参考答案：
A
略
5. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（? ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
平均数
中位数，众数.∴，故选.
6. 双曲线的离心率是2，则的最小值为
A． B． C．2 D．1
参考答案：
A
7. 样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为
A．2 B．2．3 C．3 D．3．5
参考答案：
A
略
8.
? 已知函数，（C为复数），则等于
A、? ?B、 C、 D、
参考答案：
答案:C
解析:∵? ∴? 故选C
9. 若集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
10. 设函数，，若实数、满足，，则（ ? ）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数（有两个零点，则的取值范围是 .
参考答案：
[Z。xx
略
12. （理）若关于的方程有且仅有一个实数根，则实数________
参考答案：
13. 椭圆的右焦点为F.其右准线与x轴的交点为A,若在拥圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,則椭圆离心率的取值范围是_________.
参考答案：
14. 如图：已知四面体PABC的所有棱长均为3cm，E、F分别是棱PC，PA上的点，且PF＝FA，PE＝2EC，则棱锥B－ACEF的体积为____________．
参考答案：
略
15. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于
．
参考答案：
考点： 异面直线及其所成的角．
专题： 空间角．
分析： 首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．
解答： 解：取BC的中点F，连接EF，OF
由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，
所以：EF∥BC1∥AD1
所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．
平面ABCD⊥平面BCC1B1
OF⊥BC
所以：OF⊥平面BCC1B1
EF?平面BCC1B1
所以：EF⊥OF
cos
故答案为：
点评： 本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型．
16. 在的展开式中，x2项的系数为
．
参考答案：
﹣7
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：通项公式Tr+1==，
令8﹣2r=2，解得r=3．
∴x2项的系数==﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17. (1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .
参考答案：
0.
本题主要考查了二项展开式的通项公式，难度较低.
通项公式为，含有项的系数为,含有的系数为,所以系数之差为0.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）如图△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC ,，BE．
（1）证明：平面ACD平面；
（2）记，表示三棱锥A－CBE的体积，求的最大值及相应的取值.
?
参考答案：
（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形? ∴，---------1分
∵ DC平面ABC ,平面ABC ∴． ----------2分
∵AB是圆O的直径? ∴且
∴平面ADC．? ∵DE//BC ∴平面ADC -------------5分
又∵平面ADE ∴平面ACD平面----------------6分
（2）在Rｔ△ABC中 ∵（）
∴-----------------8分
∴（）
当且仅当，即时，“＝”成立，----------12分
19. 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。
（Ⅰ）求的概率；（Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）。
参考答案：
解：（I）表示两次调题均为类型试题，概率为
（Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为，
随机变量可取
，，
。
答：（Ⅰ）的概率为：，
（Ⅱ）求的均值为
20. 已知数列满足，且，为的前项和.
（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）如果对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
解：（1）对任意,都有，所以
则成等比数列,首项为，公比为…………2分
所以，…………4分
?（2）因为
所以…………7分
因为不等式，化简得对任意恒成立 ……………8分
设，则?
当,,为单调递减数列，
当,,为单调递增数列 …………11分
,所以, 时, 取得最大值…………13分
所以, 要使对任意恒成立，…………14分
21. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前n项和．已知,且构成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前n项和．
参考答案：
（Ⅰ）设数列的公比为，
由已知，得? ，即， 也即
解得? 故数列的通项为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，? ∴ ，
又，
∴ 是以为首项，以为公差的等差数列
∴
即．?
略
22. （本小题满分12分）
某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组；第二组，，第五组
右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（Ⅰ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（Ⅱ）设表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知，求事件“”的概率.
参考答案：
解（Ⅰ）由直方图知，成绩在内的人数为：
所以该班成绩良好的人数为27人--------------------------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）解：由直方图知，成绩在的人数为人，设为、、
成绩在的人数为人，设为A、B、C、D.
若时，有3种情况；
若时，有6种情况
若和内时，
A
B
C
D
共有12种情况。
所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种。
所以
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