初中学业水平考试（The Academic Test for the Junior High School Students），简称“中考”，是检验初中在校生是否达到初中学业水平的考试；它是初中毕业证书发放的必要条件，考试科目将国家课程方案�， 以下是为大家整理的关于2020长沙中考数学试卷4篇 , 供大家参考选择。
2020长沙中考数学试卷4篇
第1篇: 2020长沙中考数学试卷
2015年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列实数中，为无理数的是（ ）
2．下列运算中，正确的是（ ）
A.x 3+x=x4 B. （x2）3=x6 C.3x﹣2x=1 D.（a﹣b）2=a2﹣b2
3．2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线每天承动力约为185000人次，则数据185000用科学记数法表示为（ ）
4．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A . B . C . D .
5．下列命题中，为真命题的是（ ）
A． 六边形的内角和为360度 B． 多边形的外角和与边数有关
C． 矩形的对角线互相垂直 D． 三角形两边的和大于第三边
6．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A . B . C . D .
7．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）
A． 平均数 B． 中位数 C． 众数 D． 方差
8．下列说法中正确的是（ ）
A .“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
B .某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，一定有一张中奖
C .抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
.D． 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查
9．一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
10．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A. B . C . D .
11．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ）
A .米 B． 30sinα米 C． 30tanα米 D． 30cosα米
12．长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）
A． 562.5元 B． 875元 C． 550元 D． 750元
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是 ．
14．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为 （结果保留π）．
15．把+进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根号）．
16．分式方程=的解是x= ．
17．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=6，则BC的长是 ．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ．
三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：（）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+．
20．先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．
21．中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
22．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当α=30°时，求线段EF的长度．
23．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
24．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）求⊙M的半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；
（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．
25．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
26．若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．
（1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值；
（2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
（3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题）
1．C
解析：因为0.2、93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png都是分数，－5是整数，它们都是有理数，只有d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png是带有根号且开方开不尽的数的方根，是无理数，故答案为 C．
点评：本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的定义及初中阶段无理数的类型．
2．B
解析：∵x3÷x＝x2，(x2)3＝x6，3x－2x＝x，(a－b)2＝a2－2ab＋b2， ab
∴ 只有(x2)3＝x6正确，故答案为B．
点评：本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟练地掌握合并同类项法则、幂的运算性质和乘法公式．
3．A
点评：本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握求科学记数法的定义．
解析：∵185000的整数数位有6位，
∴a＝1.85，n＝6－1＝5．
故选A．
4．B
解析：选项A、C、D既是轴对称图形，也是中心对称图形；只有选项B是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选B．
点评：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念．
5．D
解析：∵六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°；多边形的外角和恒等于360°，与边数无关；矩形的对角线相等，三角形两边之和大于第三边，三角形)图形，也不∴A、B、C三个选项的命题是假命题，D选项的命题是真命题，故答案为D．
点评：本题考查了多边形的内、外角和定理，三角形的三边关系和矩形的性质，解题的关键是掌握多边形的内、外角和公式和三角形三边关系定理及矩形的性质．
6．A
解析：解不等式2＋x＞0得x＞－2；解不等式2x－6≤0得x≤3，故原不等式组的解集为－2＜x≤3，故答案为A．
点评：本题考查了解一元一次不等式组和利用数轴表示一元一次不等式组的解集，解题的关键是注意数形结合的正确应用．
7．C
解析：找到题目中这30个数据中出现次数最多的数据即为众数，也是商家更应该关注鞋子尺码的销售量，故答案为C．
点评：本题考查了众数的概念，解题的关键是正确掌握统计中的基本概念．
8．D
解析：∵“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件；某种彩票的中奖率为b121622ffda0c8e7eade6b6d0a6185c1.png，说明在大量反复实验中，每买1000张彩票，一定有一张中奖；抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png；想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，因其工作量太大，宜采用抽样调查，故答案为D．
点评：本题考查了抽样调查、随机事件、概率，注意正确理解相关概念的含义是解决本题的关键．
9．C
解析：由k＝－2＜0，图像经过二、四象限，又b＝1，因此该一次函数的图像交y轴于正半轴，从而得一次函数y＝－2x＋1的图像经过第一、二、四象限，所以函数图像不经过第三象限．故选择C．
点评：本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是运用图像或根据性质求解．
10．A
解析：因为过△ABC的顶点A，作BC边上的高是指过点A作边BC的垂线段，故答案为A．
点评：本题考查了钝角三角形高的作法，解题的关键是正确地理解三角形的高的意义．
11．C
解析：在Rt△ABO中，tanα＝c399a41471e7d4ab533c9b4b3f3c5dc4.png，∴AO＝BO·tanα＝23e77c6be56a487956efabefd4351c82.png，故答案为C．
点评：本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是理解正切的概念．
12．B
解析：设进价为x元，根据题意得20%x＝500，解得x＝2500，则标价为(2500＋500)÷0.8＝3750（元），按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为3750×0.9－2500＝875（元），故答案为B．
点评：本题考查了一元一次方程（组）的应用，解题的关键是正确地理解题意布列方程（组）题解形、D】．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png
解析：袋子里装有5个球，其中有2个白球，摸出的球是白球的概率为add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png，故答案为add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png．
点评：本题考查了概率的计算．掌握概率的定义是解题的关键．
14．b6d47c3107d3e2b95e2cbfb9826f3314.png
解析：∵n＝60，R＝2，
∴S扇形＝36d27bb065118fa1c9a53c525ee61fa8.png＝b6d47c3107d3e2b95e2cbfb9826f3314.png．
故答案为b6d47c3107d3e2b95e2cbfb9826f3314.png．
点评：本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是能熟练的运用扇形面积的计算公式．
15．44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png
解析：原式＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＋d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＝2d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，故答案为44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png．
点评：本题考查了二次根式的化简与加减运算，解题的关键是化简二次根式．
16．x＝－5
解析：方程两边都乘以x(x－2)，得5(x－2)＝7x，解得x＝－5，经检验，x＝－5是原方程的根，故答案为x＝－5．
点评：本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程两边都乘最简公分母，将分母去掉，是正确解答的前提条件．
17．18
解析：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴5c248f13e59f4d2fb760954aaf9aa32c.png．
∴BC＝3DE＝18．
故答案为18．
点评：本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．
18．4
解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵BC＝6，AB＝10，
∴AC＝b0c0992028000b9e9fb9a9c66066eac0.png＝8．
∵OD⊥BC于点D，
∴DB＝DC．
又∵OA＝OB，
∴OD＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngAC＝4．
故答案为4．
点评：本题考查了圆的相关性质及勾股定理与三角形中位线定理，解题的关键是能正确地利用圆周角定理、垂径定理、勾股定理与三角形中位线定理．
三、解答题（本大题共8个小题）
19．解析：根据相关运算法则与性质，先把各项初步进行计算与化简，最后把所得的各个结果相加减．
解：原式＝2＋4×93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png－3＋3
＝2＋2－3＋3
＝4．
点评：本题考查了负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式的化简，解题的关键是熟记各运算法则与性质，以及几个特殊角的三角函数值．
20．解析：先利用平方差公式和单项式与多项式乘法法则化简、合并同类项，再代入数值进行计算．
解：当x＝(3－π)0＝1，y＝2时，
原式＝x2－y2－x2－xy＋2xy
＝－y2＋xy
＝－22＋1×2
＝－4＋2
＝－2．
点评：本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是熟练地掌握整式的乘法法则与乘法公式．21．解析：（1）a＝200×0.3＝60；b＝30÷200＝0.15，；（2）根据第四组的频数a＝60，补全频数分布直方图；（3）根据“中位数应该是最中间的两个数的平均数”可得解；（4）利用样本中测试成绩90分以上（含90分）所占百分比×3000＝全校学生中成绩“优”等人数求解.
解：（1）∵b＝30÷200＝0.15，a＝200×0.3＝60，
∴填60、0.15．
（2）如下图：
word/media/image56_1.png
（3）∵样本容量为200，这200个数据按从小到大的顺序排列后最中间的两数为第100个和第101个数据的平均数，而前三组数据之和为60，第四组数据有60个，最中间两个数应落在第四组，其平均数也在该组，
∴填80≤x＜90．
（4）∵3000×0.4＝1200（人），
∴该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．
点评：本题综合考查了频数分布表，频数分布直方图，中位数，用样本去估算总体，解题的关键是样本容量＝频数÷频率，频数分布表与频数分布直方图之间的联系，以及对图中数据的处理能力．
22．解析：（1）由菱形的性质可得OA＝OC，AD∥BC；再利用平行线的性质得到∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC；最后利用“角角边”即可判断△AOE≌△COF．（2）由AB＝AC＝2，∠ABC＝60°得△ABC是等边三角形，从而∠OAE＝∠ACB＝60°，进而由旋转角为30°得到EF⊥BC．最后由三角函数得到OF＝OCsin60°＝1×aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png＝aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png，从而EF＝2OF＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png．
解：
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AD∥BC．
∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC．
∴△AOE≌△COF（AAS）．
（2）∵AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠OAE＝∠ACB＝60°．
又∵7b89734eed952d37d8e71c14e5a3df48.png＝∠AOE，
∴EF⊥BC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝1．
在Rt△OCF中，由sin∠OCF＝f0c1837cb237f5b8308fd2268cad921e.png，得OF＝OCsin60°＝1×aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png＝aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png．
∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF．
∴EF＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png．
点评：本题考查了全等三角形的判定、旋转的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些判定定理及性质定理．
23．解析：（1）根据三月份与五月份完成投递的快递总件数之间的关系列方程，并解方程，舍去不合题意的解，即可得到答案；（2）先算出6月份的快递投递任务的总件数，再判断该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务，然后列不等式进行求解．
解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意得10(1＋x)2＝12.1，
(1＋x)2＝1.21，
1＋x＝±1.1，
x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1（不合题意，舍去）．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．
（2）∵0.6×21＝12.6＜12.1×1.1＝13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名业务员，根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，解得y≥1.183，
∵y为整数，
∴y≥2．
答：至少需要增加2名业务员．
点评：本题考查了利用一元二次方程及不等式解决实际问题，确定等量关系或不等关系是解题关键．
24.解析：（1）先由勾股定理求出AB的长，再由90°的圆周角所对于弦为直径，求出⊙M的半径．
（2）利用同弧所对圆周角相等，得∠ABD＝∠AOD，再由已知条件COD＝∠CBO，即可得到BD平分∠ABO．
（3）方法一：在Rt△AOB中，由OA、OB的长利用三角函数得∠OBA＝60°，从而∠OBC＝30°，进而求出OC的长，得从而C（7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png，0）；然后求出直线BE、AB、AE的解析式，最后将直线BE、AE的解析式联立成方程组，即可求得点E的坐标．
方法二：过点A作AE⊥AB交直线BC于点E，过点E作EP⊥OA于P点，则点E即为所求，然后在两个含有30°的直角三角形ABE、APE中，分别求同AE、AP、EP的长，亦可求得点E的坐标．
方法三：利用△BOC≌△EPC，故PE＝OB＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，OC＝CP＝7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png，OP＝334f0f01eee37f53e9f7a6450cd15334.png，因此E(334f0f01eee37f53e9f7a6450cd15334.png，d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png)．
解：（1）∵cb0b5ea1d0527e3027ad686bfb8b9dff.png，05d5e86d999be5a2b751c1842a581856.png，∴OA＝65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png，OB＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png．
在Rt△AOB中，由勾股定理得，e8eb58fe704b675c6b161bdaffdd6fe0.png．
∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙M的直径．
∴⊙M的半径6e8b050fd82afb6524593d2c7b1eeaeb.png．
（2）在⊙M中，∠ABD＝∠AOD（同弧所对圆周角相等），
又∵∠COD＝∠CBO，∴∠ABD＝∠CBO．
∴BD平分∠ABO．
（3）在Rt△AOB中，
∵e2d051b468a8c3669a198485a5c4209e.png，∴∠OBA＝60°．
∵BD平分∠ABO，
∴∠OBC＝30°．
∴OC＝227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.pngOB＝7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png，从而C（7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.png，0）．
设直线BC的解析式为y＝k1x－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，则7eeb585c11985cd3d38bae4074cc419b.pngk1－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＝0，解得k1＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png，
∴BC的解析式为y＝91a24814efa2661939c57367281c819c.pngx－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png．
易求直线AB的解析式为y＝227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.pngx－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，过点A作AE⊥AB交直线BC于点E，则点E即为所求，此时设直线AE的解析式为y＝－91a24814efa2661939c57367281c819c.pngx＋b1，则－91a24814efa2661939c57367281c819c.png×65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png＋b1＝0，解得b1＝3d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，从而直线AE的解析式为y＝－91a24814efa2661939c57367281c819c.pngx＋3d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png．
由782c6930fcf72b96cc43a997696bfe3a.png解得d4d1a8780c6d9f50f21c11c8ef5e43f5.png，
∴E(334f0f01eee37f53e9f7a6450cd15334.png，d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png)．
点评：本题考查了圆周角定理、切线的性质与判定、勾股定理、一次函数等知识，解题的关键是能正确地从图形中找到隐含条件，合理利用勾股定理或全等三角形或一次函数知识进行求解．
25．解析：（1）利用“中国结”系点的横、纵坐标皆为整数的点的特征，将x取0、非0整数代入直线对应的解析式，若纵坐标亦为整数，则该点即可所求．
（2）根据反比例函数bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png，8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为常数）的k值等于其图像上点的横、纵坐标的乘积的特点易知，当函数bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png，8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，k＝±1，进而求出此时该函数图像上的“中国结”．
（3）求该抛物线与x轴的交点坐标，再由这两点横坐标皆为整数确定k的值，从而得到二次函数的解析式，通过画出该函数图像的草图，由数形结合思想来确定该函数的图像与轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．
解：
（1）当x＝0时，y＝2，故点(0，2) 系“中国结”；
当x＝n（n为不等于0的整数）时，y＝91a24814efa2661939c57367281c819c.pngn＋2是无理数，故点(n，91a24814efa2661939c57367281c819c.pngn＋2) 都不是“中国结”，
∴函数2e1cf9fc246bcb53fd16e62683fa8dde.png的图像上所有“中国结”的坐标为(0，2)．
（2）∵函数bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png（14ff79d0c269ab79b15dc3ac3a3544fd.png，8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，
∴k＝±1．
∴当k＝1时，该双曲线上的“中国结”为(1，1)、(－1，－1)；当k＝－1时，该双曲线上的“中国结”为(1，－1)、(－1，1)．
（3）令y＝0，得(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0，解得
5b3708612c422e2e08db68623a8a1108.png，c2802bf893bddcff363b986e7b7f5abb.png．
∵x1、x2都是整数，
∴k＝bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png，此时，x1＝－3，x2＝1，此抛物线的解析式为y＝9f47951d1415106b7be5d9f727011bc8.png．
该函数的图像如下，由图可知，函数的图像与轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”： (－3，0)、(－2，0)、(－1，0)、(0，0)、(1，0)、(－1，1)（即答图2中的点A、B、C、D、E、O共6个点）．
word/media/image89.gif
点评：本题综合考查了初中数学中三类函数知识及一元二次方程知识，解题的关键是阅读理解新定问题，利用数形结合思想进行解答．
26. 解析：（1）将x1＝c＝2，a＝7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png代入二次函数解析式与点A，再利用待定系数法确定二次函数的解析式，从而求出b的值；令y＝0，得到相应的一元二次方程，求解即可得到x2的值．
（2）将x1＝2c代入点A，并将点A的坐标代入二次函数解析式，探求a、b、c之间的数量关系：4ac＋2b＋1＝0即4ac＝－2b－1．然后令y＝0，得ax2＋bx＋c＝0，求出A、B两点坐标，容易发现在此条件下，A、B两点重合，△ABM不存在，也就根本不能组成等边三角形．
（3）从△PBO∽△PAO入手，探求OB＝914955617b159921a1e8701034eb6c09.png，从而B (914955617b159921a1e8701034eb6c09.png，0)，再由一元二次方程的根与系数的关系，得mc＋914955617b159921a1e8701034eb6c09.png＝－7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png， mc×914955617b159921a1e8701034eb6c09.png＝093f8a967400f274ba09d084a57ef1af.png，解得a＝552c7d949b3ccad7bd7f1ad58ed7290f.png，b＝－m－d5a96d3abc4e087d9edb48905e3b630f.png．最后由△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，得581ac37870fdb69ca2cfbcdb17733141.png，即c＝－33be23f266b55151e721592541c15f43.png，从而b2＝8ac＝8，也就是(－m－d5a96d3abc4e087d9edb48905e3b630f.png)2＝8，即可得到参数m的值．
解：
（1）∵当x1＝c＝2，a＝7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png时，抛物线y＝7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngx2＋bx＋2过点A(2，0)，
∴7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png×22＋2b＋2＝0，解得b＝－1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png．
∴y＝7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngx2－1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.pngx＋2．
令y＝0，得7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngx2－1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.pngx＋2＝0，解得x1＝2，x2＝3．
∴x2与b的值分别为3、－1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png．
（2）当x1＝2c时，△ABM不能为等边三角形，理由如下：
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(2c，0)，
∴4ac2＋2bc＋c＝0．
∵c＞0，∴4ac＋2b＋1＝0即4ac＝－2b－1．
令y＝0，得ax2＋bx＋c＝0，
解得x＝1863543eb16757f43db5888922bc85ee.png＝6a1c47d778c57774bb96c57b4b484182.png＝5c3e69fc879168cd3b8d534c8853eae1.png，
∴x1＝37082c2336926759b5804e5d8f60bfed.png，x2＝2e426c517105de1222eaf8245d80a145.png．
又∵x1＝2c，
∴37082c2336926759b5804e5d8f60bfed.png＝2c，即4ac＝1，从而－2b－1＝1，解得b＝－1，此时，x2＝37082c2336926759b5804e5d8f60bfed.png．
∴A、B两点重合，△ABM不存在．
∴当x1＝2c时，△ABM不能为等边三角形．
（3）∵△PBO∽△PAO，
∴01b925ca69db1726f8a406abe8b4cda5.png，从而OP2＝OA×OB，即c2＝mc×OB．
∴OB＝914955617b159921a1e8701034eb6c09.png，从而B (914955617b159921a1e8701034eb6c09.png，0)．
∴mc、914955617b159921a1e8701034eb6c09.png是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个不相等的根．
由韦达定理，得mc＋914955617b159921a1e8701034eb6c09.png＝－7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png， mc×914955617b159921a1e8701034eb6c09.png＝093f8a967400f274ba09d084a57ef1af.png，
解得a＝552c7d949b3ccad7bd7f1ad58ed7290f.png，b＝－m－d5a96d3abc4e087d9edb48905e3b630f.png．
∵△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，
∴581ac37870fdb69ca2cfbcdb17733141.png，即c＝－33be23f266b55151e721592541c15f43.png，从而b2＝8ac＝8．
∴(－m－d5a96d3abc4e087d9edb48905e3b630f.png)2＝8，解得m1＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＋1，m2＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png－1，m3＝－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＋1，m4＝－d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png－1（负值舍去）．
经检验，m1＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png＋1，m2＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png－1都是方程的解．
综上，m的值为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png±1．
点评：本题综合考查了待定系数法、一元二次方程、等边三角形、相似形等知识，解题的关键是从已知条件入手利用数形结合思想，探索结论的正确与否及所求参数的值．
第2篇: 2020长沙中考数学试卷
注意事项：
2018 年长沙市初中学业水平考试试卷
数学
第3篇: 2020长沙中考数学试卷
2019年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1
2．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到150********元，确保安全供用电需求．数据150********用科学记数法表示为（ ）
A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×1011
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6
C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
5．（3分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
6．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
10．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
11．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．（3分）分解因式：am2﹣9a＝ ．
15．（3分）不等式组的解集是 ．
16．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
“摸出黑球”的次数
36
387
2019
4009
19970
40008
“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）
0.360
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 ．（结果保留小数点后一位）
17．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 m．
18．（3分）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：
①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．
其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
19．（6分）计算：|﹣|+（）﹣1﹣÷﹣2cos60°．
20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝3．
21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
优秀
21
42%
良好
m
40%
合格
6
n%
待合格
3
6%
（1）本次调查随机抽取了 名学生；表中m＝ ，n＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
22．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
23．（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
24．（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，＝＝．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．
25．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好≤≤，求m，n的值．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．
①如图1，求证：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．
2019年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：﹣5＜﹣3＜﹣1＜0＜1，
所以比﹣3小的数是﹣5，
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到150********元，确保安全供用电需求．数据150********用科学记数法表示为（ ）
A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据150 **** ****用科学记数法表示为1.5×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6
C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可．
【解答】解：A、3a与2b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B、（a3）2＝a6，故选项B符合题意；
C、a6÷a3＝a3，故选项C不符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解：A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；
B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．
5．（3分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：∵∠1＝80°，
∴∠3＝100°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝100°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题关键．
6．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的三视图判断即可．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥．
故选：D．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
7．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
8．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
【分析】根据扇形的面积公式S＝计算即可．
【解答】解：S＝＝12π，
故选：C．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
10．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
11．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，
故实数x的取值范围是：x≥5．
故答案为：x≥5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
14．（3分）分解因式：am2﹣9a＝ a（m+3）（m﹣3） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：am2﹣9a
＝a（m2﹣9）
＝a（m+3）（m﹣3）．
故答案为：a（m+3）（m﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15．（3分）不等式组的解集是 ﹣1≤x＜2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
故答案为：﹣1≤x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
“摸出黑球”的次数
36
387
2019
4009
19970
40008
“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）
0.360
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 0.4 ．（结果保留小数点后一位）
【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，
故摸到白球的频率估计值为0.4；
故答案为：0.4．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
17．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 100 m．
【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．
【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×50＝100米．
故答案为：100．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
18．（3分）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：
①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．
其中正确的结论的序号是 ①③④ ．（只填序号）
【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．
②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．
③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．
④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：①设点A（m，），M（n，），
则直线AC的解析式为y＝﹣x++，
∴C（m+n，0），D（0，），
∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，
∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BM⊥AM，
∴OM＝OA，
∴k＝mn，
∴A（m，n），M（n，m），
∴AM＝（n﹣m），OM＝，
∴AM不一定等于OM，
∴∠BAM不一定是60°，
∴∠MBA不一定是30°．故②错误，
∵M点的横坐标为1，
∴可以假设M（1，k），
∵△OAM为等边三角形，
∴OA＝OM＝AM，
1+k2＝m2+，
∴m＝k，
∵OM＝AM，
∴（1﹣m）2+＝1+k2，
∴k2﹣4k+1＝0，
∴k＝2，
∵m＞1，
∴k＝2+，故③正确，
如图，作MK∥OD交OA于K．
∵OF∥MK，
∴＝＝，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴＝，
∴＝，
∵KM∥OD，
∴＝＝2，
∴DM＝2AM，故④正确．
故答案为①③④．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
19．（6分）计算：|﹣|+（）﹣1﹣÷﹣2cos60°．
【分析】根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算．
【解答】解：原式＝+2﹣﹣2×
＝+2﹣﹣1
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝3．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当a＝3时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
优秀
21
42%
良好
m
40%
合格
6
n%
待合格
3
6%
（1）本次调查随机抽取了 50 名学生；表中m＝ 20 ，n＝ 12 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
【分析】（1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数；
（2）根据题意补全条形统计图即可得到结果；
（3）全校2000名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）本次调查随机抽取了21÷42%＝50名学生，m＝50×40%＝20，n＝×100＝12，
故答案为：50，20，12；
（2）补全条形统计图如图所示；
（3）2000×＝1640人，
答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．
【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，得出AE＝DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠EBA＝∠FAD，得出∠GAE+∠AEG＝90°，因此∠AGE＝90°，由勾股定理得出BE＝＝5，在Rt△ABE中，由三角形面积即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【分析】（1）设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；
（2）用2.42×（1+增长率），计算即可求解．
【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意，得
2（1+x）2＝2.42，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增长率为10%．
（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．
答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24．（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 假 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 假 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 真 命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，＝＝．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．
【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断．
（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
（3）四边形ABFE与四边形EFCD相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明DE＝AE即可．
【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1．
∵∠BCD＝∠B1C1D1，且＝，
∴△BCD∽△B1C1D1，
∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，
∵＝＝，
∴＝，
∵∠ABC＝∠A1B1C1，
∴∠ABD＝∠A1B1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
∴＝，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，
∴，＝＝＝，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2中，
∵四边形ABCD与四边形EFCD相似．
∴＝，
∵EF＝OE+OF，
∴＝，
∵EF∥AB∥CD，
∴＝，＝＝，
∴+＝+，
∴＝，
∵AD＝DE+AE，
∴＝，
∴2AE＝DE+AE，
∴AE＝DE，
∴＝1．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好≤≤，求m，n的值．
【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）可知，y＝﹣2（x﹣1）2+1，易得b、c的值；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入函数解析式，经过化简得到c＝2x02+2020，易得c≥2020；
（3）由题意知，抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，则y≤1．利用不等式的性质推知：，易得1≤m＜n．由二次函数图象的性质得到：当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．所以＝﹣2m2+4m﹣1，＝﹣2n2+4n﹣1通过解方程求得m、n的值．
【解答】解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1．
∴．
∴b＝6，c＝2019．
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），
代入解析式可得：．
∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．
∴c＝2x02+2020，
∴c≥2020；
（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．
∴y≤1．
∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好≤≤，
∴≤．
∴．
∴≤1，即m≥1．
∴1≤m＜n．
∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，
∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．
∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．
当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．
又，
∴．
将①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，
变形，得2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．
∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0．
∵n＞1，
∴2n2﹣2n﹣1＝0．
解得n1＝（舍去），n2＝．
同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0．
∵1≤m＜n，
∴2m2﹣2m﹣1＝0．
解得m1＝1，m2＝（舍去），m3＝（舍去）．
综上所述，m＝1，n＝．
【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法．该题计算量比较大，需要细心解答．难度较大．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．
①如图1，求证：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．
【分析】（1）令y＝0，可得ax（x+6）＝0，则A点坐标可求出；
（2）①连接PC，连接PB延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠COE，则CE＝DE；
②设OE＝m，由CE2＝OE•AE，可得，由∠CAE＝∠OBE可得，则，综合整理代入可求出的值．
【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0，
ax（x+6）＝0，
∴A（﹣6，0）；
（2）①证明：如图，连接PC，连接PB延长交x轴于点M，
∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，
∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，
又∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵CE为切线，
∴∠PCB+∠ECD＝90°，
又∵∠BDP＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠COE，
∴CE＝DE．
②解：设OE＝m，即E（m，0），
由切割线定理得：CE2＝OE•AE，
∴（m﹣t）2＝m•（m+6），
∴①，
∵∠CAE＝∠CBD，
∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，
由角平分线定理：，
即：，
∴②，
由①②得，
整理得：t2+18t+36＝0，
∴t2＝﹣18t﹣36，
∴．
【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/1 7:46:04；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557
7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。——富兰克林
8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。——法国
9、慈母的胳膊是慈爱构成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果
10、母爱是多么强烈、自私、狂热地占据我们整个心灵的感情。——邓肯
11、世界上一切其他都是假的，空的，唯有母亲才是真的，永恒的，不灭的。——印度
第4篇: 2020长沙中考数学试卷
2018年长沙市初中学业水平考试卷
数学
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1.（2018湖南长沙，1题，3分）-2的相反数是（ ）
A.-2 B. C.2 D.
【答案】C
2.（2018湖南长沙，2题，3分）据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（ ）
A.0.102×105 B.10.2×103 C.1.02×104 D.1.02×103
【答案】C
3.（2018湖南长沙，3题，3分）下列计算正确的是（ ）
Aa2+a3=a5 B. C.(x2)3=x5 D.m5÷m3=m2
【答案】D
4.（2018湖南长沙，4题，3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm,10cm D.6cm,7cm,14cm
【答案】B
5.（2018湖南长沙，5题，3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
【答案】A
6.（2018湖南长沙，6题，3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
【答案】C
7.（2018湖南长沙，7题，3分）将下列左侧的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
【答案】D
8.（2018湖南长沙，8题，3分）下列说法正确的是（ ）
A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B.天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D.“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
【答案】C
9.（2018湖南长沙，9题，3分）估计的值（ ）
A.在2和3之间 B.在3和4之间 C.在4和5之间 D.在5和6之间
【答案】C